Fonctions cosinus et sinus - Spécialité
Limite
Exercice 1 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]-\infty, -1[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{- x + 2}{-3x + \operatorname{cos}{\left(2x \right)} + 2}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment petit.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{- x + 2}{-3x + \operatorname{cos}{\left(2x \right)} + 2}}\]
Exercice 2 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto 9x^{5} + 6x\operatorname{sin}{\left (5x -4 \right )}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{9x^{5} + 6x\operatorname{sin}{\left (5x -4 \right )}}\]
Exercice 3 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; 0\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{- x - \operatorname{sin}{\left (2x \right )} + 2}{- x}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; 0\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; 0\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{- x - \operatorname{sin}{\left (2x \right )} + 2}{- x}}\]
Exercice 4 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]1, +\infty[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{- x + 4}{-4x + \operatorname{cos}{\left(2x \right)}}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment grand.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{- x + 4}{-4x + \operatorname{cos}{\left(2x \right)}}}\]
Exercice 5 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto - x^{5} -4x\operatorname{cos}{\left (6x -7 \right )}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{- x^{5} -4x\operatorname{cos}{\left (6x -7 \right )}}\]